Para copiar una base de datos entera o cambiar el nombre a una base de datos... tendremos que plantearnos 2 preguntas elementales:

¿Hay una manera para que pueda copiar una base de datos de todos en el cPanel?

¿Hay una manera para que pueda copiar una base de datos completa de otro servidor?

 La respuesta a sus dudas es SI!

Tendrás que exportar la base de datos original, e importar para una nueva base de datos.

¿Cómo exportar?

   1. Diríjase a la base de datos existente en phpMyAdmin.

   2. Haga clic en Exportar, que se encuentra en la parte superior.

   3. Deje la configuración como esta, seleccione la opcion "Continuar".

   4. Este proceso va a descargar un archivo .SQL para su equipo

¿Cómo puedo importar una base de datos?

   1. Cree una nueva base de datos en el cPanel.

   2. Ir a phpMyAdmin

   3. Haga clic en el nombre de la nueva base de datos en la parte superior izquierda.

   4. Haga clic en Importar en el área principal de phpMyAdmin

   5. Busque el archivo .sql en su equipo y haga clic en Ir.

Nota: El phpMyAdmin dará timeout después de 30 segundos del intento de importar.

Si Ud. tiene Timeout, cargue el archivo de backup de la base de datos para su cuenta de HostGator y enviar un e-mail a suporte@hostgator.com.mx con los detalles. Nuestros administradores podrán realizar la importación. Por razones de seguridad , es mejor enviar a su base de datos a la sección de su cuenta /home/NOMBRE DE USUARIO. (Reemplazar nombre de usuario con su nombre de usuario del  cPanel).  

¿Hay una manera de cambiar el nombre de un base de datos?

Por desgracia, la única manera de cambiar el nombre de una base de datos es copiarlo de una nueva base de datos vacía con el nombre deseado.